Вычислительные методы

Содержание

• Введение
  • 0.1. Потребности в математике
  • 0.2. Специфика современного этапа
    • 0.2.1. Состояние математики
    • 0.2.2. Развитие ЭВМ
    • 0.2.3. Программирование вычислений
    • 0.2.4. "Вычислительные кадры"
  • 0.3. Как учить вычислительной математике
  • 0.4. О данной книге
• 1. Содержание и средства математического моделирования
  • 1.1. Математическое моделирование
  • 1.2. Виды математических моделей
  • 1.3. Требования к математическим моделям
    • 1.3.1. Адекватность
    • 1.3.2. Корректность
  • 1.4. Дискретная модель
• 2. Основы Фортрана
  • 2.1. Алфавит и простейшие конструкции
  • 2.2. Оформление программы
  • 2.3. Типы данных
  • 2.4. Выражения
  • 2.5. Массивы и действия над ними
    • 2.5.1. Основные определения
    • 2.5.2. Вырезки и сечения массивов
    • 2.5.3. Задание массивов
    • 2.5.4. Действия над массивами в целом
    • 2.5.5. Выборочные действия
    • 2.5.6. Массивы с переменными границами
  • 2.6. Встроенные функции
  • 2.7. Разветвления
  • 2.8. Циклы
  • 2.9. Программа и ее компоненты
  • 2.6. 4 Оглавление 2.10. Подпрограммы
  • 2.11. Функции
  • 2.12. Расположение операторов
  • 2.13. Области видимости меток и имен
  • 2.14. Внутренние процедуры
  • 2.15. Интерфейс процедур
  • 2.16. Специальные случаи параметров процедур
    • 2.16.1. Массивы как параметры
    • 2.16.2. Процедуры как параметры
  • 2.17. Рекурсивные процедуры
  • 2.18. Ввод-вывод
    • 2.18.1. Структура операторов ввода-вывода
    • 2.18.2. Форматы ввода-вывода
    • 2.18.3. Список ввода-вывода
• 3. Эффективное программирование
  • 3.1. Факторы эффективности
  • 3.2. Метод и программа
  • 3.3. Процесс программирования
  • 3.4. Измерение времени выполнения программы
    • 3.4.1. Измерение трудоемкости участка
    • 3.4.2. Профилировщик
  • 3.5. Повышение быстродействия программ
    • 3.5.1. Стратегический уровень
    • 3.5.2. Тактический уровень
  • 3.6. Обеспечение надежности
    • 3.6.1. Основные пути
    • 3.6.2. Тестирование
• 4. Приближенные вычисления
  • 4.1. Компоненты погрешности
  • 4.2. Абсолютные и относительные погрешности
  • 4.3. Особенности машинной арифметики
  • 4.4. Погрешности функций
  • 4.5. Обратная задача теории погрешностей
  • 4.6. Гарантированная и вероятностная оценки погрешности
  • 4.7. Число верных цифр результата
  • 4.8. Корректность математической модели
    • 4.8.1. Корректность задач и методов
    • 4.8.2. Корректность систем линейных уравнений
• 5. Вычисление значений функции
  • 5.1. Вычисление многочленов
  • 5.2. Рекурсивные и рекуррентные вычисления
  • 5.3. Расчет степенных рядов
    • 5.3.1. Общие сведения
    • 5.3.2. Признаки сходимости рядов
    • 5.3.3. Расчет членов рядов
    • 5.3.4. Ускорение сходимости рядов
  • 5.4. Дробно-рациональные приближения
  • 5.5. Непрерывные дроби
• 6. Решение уравнений с одним неизвестным
  • 6.1. Постановка задачи
  • 6.2. Отделение корней
  • 6.3. Метод половинного деления
  • 6.4. Метод хорд
  • 6.5. Параболическая аппроксимация
  • 6.6. Метод Ньютона
  • 6.7. Метод итераций
    • 6.7.1. Понятие о методе итераций
    • 6.7.2. Условия сходимости итераций
    • 6.7.3. Обеспечение сходимости итераций
    • 6.7.4. Метод Вегстейна
    • 6.7.5. Применение метода итераций для приближенного вычисления значения функций
  • 6.8. Метод Эйткена
  • 6.9. Решение полиномиальных уравнений
  • 6.10. Сопоставление методов
• 7. Вычислительные методы линейной алгебры
  • 7.1. Матрицы
  • 7.2. Операции над матрицами
  • 7.3. Ранг матрицы
  • 7.4. Неособая, единичная, обратная матрицы
  • 7.5. Матрицы специальной структуры
    • 7.5.1. Клеточные матрицы
    • 7.5.2. Треугольные матрицы
    • 7.5.3. Ленточные матрицы
    • 7.5.4. Диагональные матрицы
    • 7.5.5. Нерегулярные разреженные матрицы
  • 7.6. Нормы матрицы и вектора
  • 7.7. Системы линейных уравнений
    • 7.7.1. Матричная запись системы линейных уравнений
    • 7.7.2. Погрешность прямых решений линейных систем
    • 7.7.3. Расчетная схема метода Гаусса
    • 7.7.4. Уточнение решений
    • 7.7.5. Применение метода Гаусса для вычисления определителя
    • 7.7.6. Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы
  • 7.8. Метод прогонки для трехдиагональных матриц
  • 7.9. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
    • 7.9.1. Метод простой итерации
    • 7.9.2. Метод Зейделя
    • 7.9.3. Обеспечение сходимости итераций
    • 7.9.4. Сверхрелаксация
  • 7.10. Итерационный способ обращения матриц
  • 7.11. Сравнительная оценка точных и итерационных методов
• 8. Дополнительные разделы линейной алгебры
  • 8.1. Дополнительные сведения о матрицах
    • 8.1.1. Транспонирование комплексных матриц
    • 8.1.2. Ортогональные матрицы
  • 8.2. Линейные векторные пространства
    • 8.2.1. Линейная зависимость векторов
    • 8.2.2. Скалярные произведения и ортогональность векторов
    • 8.2.3. Базис линейного векторного пространства
    • 8.2.4. Линейное преобразование векторов
    • 8.2.5. Преобразование координат при изменении базиса
  • 8.3. Матричные разложения
    • 8.3.1. Матрицы перестановок
    • 8.3.2. Матричное представление схемы Гаусса
    • 8.3.3. Разложение и метод Холецкого
  • 8.4. Тактика решения линейных систем
  • 8.5. Билинейная и квадратичная формы матриц
  • 8.6. Собственные векторы и собственные значения
    • 8.6.1. Основные свойства собственных значений
    • 8.6.2. Собственные значения матриц специального вида
    • 8.6.3. О вычислении собственных значений
  • 8.7. Частичная проблема собственных значений
    • 8.7.1. Постановка задачи
    • 8.7.2. Степенной метод
    • 8.7.3. Улучшение сходимости простых итераций
  • 8.8. Полная проблема собственных значений
  • 8.9. Сингулярные числа и сингулярное разложение
  • 8.10. Матричные ряды
  • 8.11. Матричные уравнения специального вида
    • 8.11.1. Типы уравнений
    • 8.11.2. Пример на квадратное уравнение
    • 8.11.3. Простое решение
• 9. Решение систем нелинейных уравнений
  • 9.1. Основные предположения и вспомогательный аппарат
  • 9.2. Метод Ньютона
    • 9.2.1. Основной вариант
    • 9.2.2. Модифицированный вариант
    • 9.2.3. Преобразованная система
    • 9.2.4. Квазиньютоновы методы
  • 9.3. Метод итераций
  • 9.4. Одна специальная система
• 10. Приближение функций
  • 10.1. Постановка задачи
  • 10.2. Оценка качества приближения
  • 10.3. Сортировка и поиск
    • 10.3.1. Поиск в массиве
    • 10.3.2. Понятие о сортировках
    • 10.3.3. Линейные сортировки
    • 10.3.4. Быстрая сортировка
  • 10.4. Интерполирование
    • 10.4.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
    • 10.4.2. Интерполяционные многочлены Ньютона
    • 10.4.3. Обратная интерполяция
    • 10.4.4. Сплайны
  • 10.5. Чебышевские приближения
    • 10.5.1. Проблема выбора узлов интерполяции
    • 10.5.2. Многочлены Чебышева
    • 10.5.3. Интерполяция по чебышевским узлам
    • 10.5.4. Экономизация степенных рядов
  • 10.6. Метод наименьших квадратов
  • 10.7. Подбор эмпирических формул
• 11. Методы оптимизации
  • 11.1. Базовые понятия
    • 11.1.1. Введение
    • 11.1.2. Градиент и гессиан
    • 11.1.3. Выпуклость и вогнутость
    • 11.1.4. "Овражные" целевые функции
    • 11.1.5. Классификация методов минимизации
    • 11.1.6. Проблема "глобализации"
  • 11.2. Методы косвенной оптимизации
  • 11.3. Прямая минимизация
    • 11.3.1. Поиск минимума функции одной переменной
    • 11.3.2. Метод конфигураций (Хука-Дживса)
    • 11.3.3. Метод Нелдера-Мида
    • 11.3.4. Покоординатный спуск
    • 11.3.5. Метод Розенброка
  • 11.4. Градиентные методы
    • 11.4.1. Общие соображения
    • 11.4.2. Алгоритм градиентного спуска
    • 11.4.3. Скорейший спуск
    • 11.4.4. Скорейший спуск для систем уравнений
    • 11.4.5. Методы сопряженных градиентов
  • 11.5. Методы второго порядка
    • 11.5.1. Многомерный ряд Тейлора
    • 11.5.2. Метод Ньютона
    • 11.5.3. Идея квазиньютоновых методов
    • 11.5.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла
  • 11.6. Оптимизация при наличии ограничений
    • 11.6.1. Методы прямого поиска
    • 11.6.2. Градиентные методы
    • 11.6.3. Ограничения в форме неравенств
    • 11.6.4. Метод штрафных функций
  • 11.7. Линейное, целочисленное и динамическое программированиие
• 12. Численное дифференцирование и интегрирование
  • 12.1. Численное дифференцирование
    • 12.1.1. Общий подход
    • 12.1.2. Расчетные формулы и оценка погрешности
    • 12.1.3. О построении таблиц для численного дифференцирования
  • 12.2. Расчет моментов распределения через преобразование Лапласа
  • 12.3. Общие сведения об интерполяционных квадратурных формулах
    • 12.3.1. Соотношение между узлами и весами
    • 12.3.2. Преобразование промежутка интегрирования
  • 12.4. Квадратурные формулы Котеса
  • 12.5. Квадратурные формулы Чебышева
  • 12.6. Квадратурные формулы Гаусса
    • 12.6.1. Многочлены Лежандра
    • 12.6.2. Выбор узлов квадратурной формулы Гаусса
  • 12.7. Погрешности квадратурных формул
  • 12.8. Составные квадратурные формулы
    • 12.8.1. Идея и достоинства
    • 12.8.2. Процессы Ромберга и Эйткена
  • 12.9. Квадратуры Гаусса-Крон рода
  • 12.10. Несобственные интегралы
  • 12.11. Интегрирование осциллирующих функций
  • 12.12. Выбор метода и шага интегрирования
  • 12.13. Понятие о кубатурных формулах
  • 12.14. Интегрирование по методу Монте-Карло
• 13. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
  • 13.1. Постановка задачи Коши
  • 13.2. Представление решения задачи Коши в виде степенного ряда
  • 13.3. Идея численных методов решения задачи Коши
  • 13.4. Метод Эйлера
  • 13.5. Методы Рунге-Кутты
  • 13.6. Экстраполяционные разностные методы
    • 13.6.1. Разностная форма метода Адамса
    • 13.6.2. Безразностная форма метода Адамса
    • 13.6.3. Порядок вычислений
    • 13.6.4. Пошаговый порядок погрешности метода Адамса
    • 13.6.1. Оглавление
  • 13.7. Интерполяционные разностные методы (с пересчетом)
  • 13.8. Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
  • 13.9. "Жесткие" системы
  • 13.10. Контроль пошаговой погрешности
  • 13.11. Сравнительный анализ методов
• 14. Интегральные уравнения
  • 14.1. Определения и классификация
  • 14.2. Теоремы существования и единственности решения
  • 14.3. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
  • 14.4. Разложение по координатным функциям
    • 14.4.1. Постановка задачи
    • 14.4.2. Метод коллокации
    • 14.4.3. Метод наименьших квадратов
    • 14.4.4. Метод моментов
    • 14.4.5. Метод Бубнова-Галеркина
  • 14.5. Метод итерируемых ядер
  • 14.6. Замена интеграла квадратурной суммой
    • 14.6.1. Уравнение Вольтерра
    • 14.6.2. Уравнение Фредгольма
  • 14.7. Интегро-дифференциальные уравнения
    • 14.7.1. Идея метода и диаграмма переходов
    • 14.7.2. Законы сохранения для линейчатых процессов
    • 14.7.3. Постановка и решение задачи
• 15. Математические пакеты и библиотеки
  • 15.1. Стандартные подпрограммы
  • 15.2. Понятие о математических пакетах
  • 15.3. Пакеты и пользователь
  • 15.4. Введение в Maple
    • 15.4.1. Входной язык
    • 15.4.2. Ввод в стандартной символике
    • 15.4.3. Решение уравнений и систем уравнений
    • 15.4.4. Символические вычисления
    • 15.4.5. Maple и Фортран
    • 15.4.6. Графические средства
    • 15.4.7. Дополнительные пакеты
  • 15.5. Математические библиотеки IMSL
  • 15.6. Библиотека Fortran 90 МР
  • 15.7. Compaq Extended Mathematical Library
  • 15.8. Numerical Recipes
  • 15.9. Работа с личными библиотеками
• Заключение
• Литература