С. П. Алексеев родился 1 апреля 1922 года в селе Плисков (ныне Погребищенского района Винницкой области Украины), в семье сельского врача. С 10 лет жил и учился в Москве. В 1940 году после окончания средней школы поступил в авиационное училище в городе Поставы в Западной Белоруссии. Война застала его близ границы в полевом лагере. Алексеев был откомандирован в Оренбургское летное училище, без отрыва от учебы поступил на вечернее отделение исторического факультета Оренбургского педагогического института, полный курс которого прошел за год и пять месяцев, получив диплом в 1944 году. По окончании летного училища был оставлен в нем инструктором и до конца войны учил молодых летчиков. С авиацией расстался в конце 1945 года из-за тяжелых травм, полученных в учебном полете.

В литературно-общественную жизнь Алексеев вошел сначала как редактор и критик, а потом уже и как писатель. С 1946 года — редактор издательства «Детская литература», с 1950 года — ответственный секретарь, позже — председатель Комиссии по детской литературе СП СССР, автор статей по вопросам развития литературы для детей. В 1965—1996 — главный редактор журнала «Детская литература».

Первой книгой Алексеева была «История СССР. Учебная книга для 4-го класса» (1955). За сорок лет работы в литературе он создал более тридцати оригинальных книг, посвященных истории России на протяжении четырех веков: от середины XVI до середины XX вв. Книги Алексеева издавались на пятидесяти языках народов мира.