Евгений Медведев родился в Москве. В школьные годы занимался в изостудии Дома пионеров (тогда Октябрьского района Москвы). После 7 класса поступил в Московское художественно-графическое училище, которое в 1955 году окончил с красным дипломом. В том же году его приняли на художественно-графический факультет Московского полиграфического института. Учился у А.Д.Гончарова, В.Н.Горяева, Л.В.Сойфертиса, Э.М.Белютина, К.С.Елисеева, В.Н.Ляхова, А.А.Сидорова, Е.Шукаева и других. Дипломная работа - иллюстрации к книге «Кондуит и Швамбрания» Льва Кассиля (через 20 лет художник оформил эту книгу заново для издательства «Советская Россия»).

По окончании института (в 1960 году) начал творческую деятельность в детской и взрослой периодике. Работал в журналах «Пионер», «Юность», «Наука и религия», газете «Пионерская правда». С книжными издательствами («Детская литература», «Малыш», «Советская Россия») художник принялся сотрудничать, по его словам, «нарастив "мускулы" и приобретя профессиональный багаж».

Творческая судьба свела Евгения Алексеевича с Юрием Сотником, книги которого художник иллюстрировал неоднократно. Многолетняя дружба связывает Медведева с Владиславом Петровичем Крапивиным. Кроме того, он оформлял произведения Аркадия Гайдара, Валентина Катаева, Аркадия Аверченко, Сергея Розанова, Виктора Драгунского, Сергея Михалкова, Любови Воронковой, Чингиза Айтматова, Фазиля Искандера, Юрия Томина, Владимира Железникова, Эдуарда Успенского... С его рисунками издавались книги Джеймса Фенимора Купера, Марка Твена, Януша Корчака, Астрид Линдгрен, Артура Кларка и других зарубежных авторов.